単サイト近似

出典の明記date2012年12月5日 水 0534 UTC

サイト近似(たんサイトきんじ、lang-en-shortSingle site approximation)または単一サイト近似とは、多重散乱理論における総散乱行列T において、ポテンシャルランダムな場合に平均操作で行われる近似のこと。

詳細

ここでは、置換型不規則二元合金を考え、格子配置周期的であるが、ポテンシャル(二元合金なのでポテンシャルは2種類ある)の配置がランダムであるとする。

多重散乱理論から、ここで総散乱行列T は、

math T sumn tn sumn tn tildeG summ ne n tm sumn tn tildeG summ ne n tm tildeG sump ne m tp cdot cdot cdot math

である(参照多重散乱理論)。不規則二元合金では、2種類のポテンシャルをそれぞれA、Bとして、それに対応するt行列をtsubAsub、tsubBsubとする。従って、ポテンシャルがランダムに配置されている場合、上式の各項のt行列の和においてtsubAsub、tsubBsubがランダムに出てくることとなる。これをそのまま扱うことは現実には不可能で、何らかの平均化(平均操作)を行う必要がある。つまり、

mathbeginalignTquadtoquadlangle T rangle leftlangle sumn tn sumn tn tildeG summ ne n tm sumn tn tildeG summ ne n tm tildeG sump ne m tp cdot cdot cdot rightrangle

sumn leftlangle tn rightrangle sumn leftlangle tn tildeG summ ne n tm rightrangle sumn leftlangle tn tildeG summ ne n tm tildeG sump ne m tp rightrangle cdot cdot cdot endalign math

とする。lt gtは平均操作を意味する。ここで、上式最右辺の第三項に着目すると、これは3つのt行列の積の形となっている。そして、これにはtsubnsubtsubmsubtsubnsub、tsubmsubtsubnsubtsubmsubのような項が存在する。4次以上の項でも同様で、同一サイト同士の積が残ってしまう。これは平均化にとって甚だ面倒なこととなる。簡単のために1次2次の場合を考え、ポテンシャルA、ポテンシャルBの濃度比をx1-xyとして平均操作の結果を以下に示す。

1次の平均は、

math langle tn rangle to begincases x tA n mboxA 1-x tB n mboxB endcasesmath

2次の平均は、

math langle tn tm rangle to begincases x2 tA2 n ne m quad n mboxA quad m mboxA x tA2 n m quad n m mboxA endcases math

となる。2次の場合、nまたはmがBの場合は省略(本当は2次の項の場合、n mとなることはないが、ここでは便宜上n mの場合を示した)。

1次の場合は良いとして、2次ではmath n m mathとmath n ne m mathの場合とで平均の結果が異なる。つまり、3次以上の項では、t行列の積で同一サイトが含まれ場合と、そうでない場合とで平均操作を場合分けする必要がある。これを現実に行うこは不可能である。実際の平均操作では同一サイトが含まれるt行列の積の項を全て無視し、面倒な場合分けを行わないものとする。これが単サイト近似である。この近似により3次の項の平均操作を例にとると、

math leftlangle tn tm tp rightrangle leftlangle tn rightrangle leftlangle tm rightrangle leftlangle tp rightrangle math

と各t行列毎の平均操作の積で表すことができる(ここで、math tildeG mathは省略した)。また、math tildeG mathは周期的なポテンシャル部分によるグリーン関数なので平均操作に対して不変である。

math tildeG leftlangle tildeG rightrangle math

以上から、単サイト近似における総散乱行列Tの平均Tは、

math leftlangle T rightrangle sumn leftlangle tn rightrangle sumn leftlangle tn rightrangle tildeG summ ne n leftlangle tm rightrangle sumn leftlangle tn rightrangle tildeG summ ne n leftlangle tm rightrangle tildeG sump ne m n leftlangle tp rightrangle cdot cdot cdot math

となる。平均操作を施した状態密度DEは(Dsub0subEは自由電子の状態密度)、

math beginalign DE - D0E 2 over N pi mathrmIm Tr d over dE x ln TA y ln TB

- 2 over N pi mathrmIm Tr x TA d over dE tauA-1 - B y TB d over dE tauB-1 -B

- 2 over N pi mathrmIm Tr sumn x leftlangle Tnn rightranglen A d tauA-1 over dE y leftlangle Tnn rightranglen B d tauB-1 over dE - sumn1 leftlangle Tnn1 rightrangle d over dE Bn1n endalign math

となる。係数2はスピンの縮重度。Imは虚数部分、Trは跡 線型代数学トレース(跡を取ることを意味する。更に平均操作は添え字nに対して独立なので、n0(を原点として)で代表させる(N倍する必要あり。N全サイト数)。またlt Tsubnnsub gtはフーリエ変換により、

math leftlangle Tnn rightrangle to Tmathbfqeff taueff-1 - Bmathbfq -1 math

として、

math DE - D0E - 2 over pi mathrmIm Tr leftx leftlangle T00 rightrangle0 A d tauA-1 over dE y leftlangle T00 rightrangle0 B d tauB-1 over dE - 1 over N summathbfq Tmathbfqeff d Bmathbfq over dE right math

となる。これが不規則二元合金の状態密度を与える基本式となる。尚、Bsubqsubは構造定数(math Bn1n math)をフーリエ変換したものである。

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Category固体物理学